Se prepare que você irá se desapontar num segundo.
Primeiro, esses gan 眼 aí vem do kanji 眼 significa "olho." No caso, gankyuu 眼球 é um "olho" e ganka 眼科 é "oftalmologia," a especialidade em medicina do olho.
O sharin 写輪 da palavra sharingan 写輪眼 nem é uma palavra de verdade.
Se você pegar pelo significado dos kanji, 写 significa "transcrever" ou "duplicar," uma "fotografia" por exemplo sendo uma shashin 写真. E 輪 significa "anel" ou "roda," yubiwa 指輪 sendo anel de dedo e kubiwa 首輪 sendo coleira. Ou seja, sharingan é um "olho de roda que copia," que é exatamente a aparência da sharingan, de uma roda, e o que ela faz, copia.
O mangekyou 万華鏡 do mangekyou sharingan 万華鏡写輪眼 é, acredite se quiser, "caleidoscópio" em Japonês. O que tornaria mangekyou sharingan literalmente "olho de roda que copia caleidoscópio" ou seja lá como que enfia essa palavra no meio.
(é, eu falei que você ia se desapontar)
Se serve de algum consolo, você pode agora fazer seu próprio mangekyou em casa.
Continuando, o byakugan 白眼 é ainda mais desapontador. Você nem acredita o quanto.
白 simplesmente significa a cor branca em Japonês. Pra piorar, na série as íris dos olhos byakugan são brancos como o "branco do olho," também chamado de "esclera". E advinha, o "branco do olho" em Japonês é shirome 白目. Literalmente os mesmos kanji, só que na leitura kun'yomi em vez de on'yomi.
Finalmente, o rinnegan 輪廻眼 é o único que tem alguma coisa haver com alguma coisa. A palavra rinne 輪廻 em Japonês realmente existe, e quer dizer o ciclo infinito de nascimento, vida, morte e reencarnação, também conhecido como samsara, que por sua vez é um conceito presente em religiões como budismo, hinduísmo, taoismo, entre outras.
Na série os olhos rinnegan estão conectados a habilidades de reencarnação (por algum motivo que nunca vou entender) então esse nome é bem próximo do que o olho realmente faz.